Критерий равномерной сходимости

$$f_n(x) \underset{n \to \infty}{\rightrightarrows} f(x) \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty } \sup|f_{n}(x) - f(x)| = 0$$

$\Rightarrow$ $$\forall{\varepsilon} > 0~~\exists{N_{\varepsilon}}~~\forall{n > N}, \forall{x} \in X~~|f_{n}(x) - f(x)| < \dfrac{\varepsilon}{2}$$ из чего по теореме о переходе к $\sup$ в неравенстве: $$\forall{\varepsilon} > 0~~\exists{N_{\varepsilon}}~~\forall{n > N}~~\sup{|f_{n}(x) - f(x)|} \leq \dfrac{\varepsilon}{2} < \varepsilon$$ $\Leftarrow$ $$\forall{\varepsilon} > 0~~\exists{N_{\varepsilon}}~~\forall{n > N}~~\sup{|f_{n}(x) - f(x)|} < \varepsilon \Rightarrow \forall {x} \in X~~|f_{n}(x) - f(x)| < \varepsilon$$ $\square$